Chapter 6. Nonparametric Identification

안녕하세요, 가짜연구소 Causal Inference 팀의 남궁민상입니다. 

Introduction to Causal Inference 강의의 여섯 번째 챕터이며, 해당 챕터에서 다루는 내용은 아래와 같습니다.

Contents

• $do$-calculus
• Determining Identifiability from the Graph

◦ 강의 영상 링크 : Chapter 5 - Randomised Experiments and Identification

    Ch 5와 6이 하나의 강의로 합쳐져 있습니다. 위 영상의 전반부는 교과서의 Ch 5, 후반부는 Ch 6 내용입니다. 그래서 여기서부터는 영상 제목과 챕터 제목이 안 맞습니다ㅠ

    작성된 내용 중 개선점이나 잘못된 부분이 있다면 댓글로 알려주세요!

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$do$-calculus

잠깐 지금까지의 내용을 되짚어 볼까요? 우리가 원하는 것은 treatment $T$와 outcome $Y$의 인과관계, 즉 $P(y|do(t))$를 밝혀내는 것입니다. 이것을 identification이라 하죠.

• 아주아주 간단한 경우, 다른 노드 없이 $T\to Y$라면 statistical quantity가 곧 causal quantity입니다. $P(y|do(t))=P(y|t)$입니다.
• 그런데 여러 노드들 사이의 관계가 복잡하게 엮이면, $P(y\:|\:do(t))$를 계산하기 위해 더 복잡한 과정이 필요합니다.
  • graph factorization을 통해 노드들 사이의 관계를 쭉 늘어놓고
  • 우리가 관심없는 것들($T$를 제외한 노드들)은 marginalize하고
  • 그리고 $do(t)$ 항을 없애는 방향으로(observation으로 바꿔나가는 방향으로) 식을 정리한다.
  • 이 과정이 지난 시간에 배웠던 adjusting for confounders입니다.

앞서 다룬 backdoor criterion과 frontdoor criterion은 이런 과정이 간단한 케이스입니다. DAG만 쓱 보고도 identify할 수 있는 특수 케이스죠. 그런데 특수 케이스 말고, 일반적인 접근법은 없을까요?

당연히 있습니다! 이 과정에 쓰일 수 있는 3가지의 inference rule이 있는데, 이 일련의 규칙들이 바로 $do$-calculus입니다.

 

 쉽게 말하자면, $do$-calculus는 일종의 논리적 법칙입니다. 우리가 유클리드 기하학의 5가지 공준을 이용해 피타고라스의 정리를 유도할 수 있는 것처럼, $do$-calculus의 3가지 규칙을 이용하면 인과적 관계를 규명할 수 있습니다. frontdoor & backdoor adjustment는 이 법칙들을 적용해서 유도한 공식 중 하나인 거고요.

 

 밑에 자세히 설명하겠지만 $do$-calculus의 3가지 룰은 DAG에서 '이런 노드들은 무시해도 돼!' 또는 '이런 intervention은 observation으로 취급해도 돼!' (또는 그 역) 라고 말해줍니다. 쉽게 말해 복잡하게 얽혀있는 상관관계 항들을 쳐내면서 인과관계를 규명할 수 있게 도와주는 거죠.

$do$-calculus의 의미를 쉽게 설명하자면...
Rule 1: ~~한 조건이 만족된다면, ~~에 대한 observation을 무시할 수 있다.
Rule 2: ~~한 조건이 만족된다면, ~~에 대한 intervention을 observation으로 간주할 수 있다.
Rule 3: ~~한 조건이 만족된다면, ~~에 대한 intervention을 무시할 수 있다.

또는 3개의 규칙 모두...
DAG를 ~~하게 조작했을 때, $Y$와 $Z$가 d-separated 관계라면 $Z$에 대한 항을 무시 or 치환할 수 있다.

$do$-calculus를 위한 몇 가지 표기법

$do$-calculus를 살펴보기 앞서, 이 챕터에서 자주 쓰이는 노드 이름은 다음과 같습니다.

• $T$ 또는 $X$: 조작변인. 우리가 그 영향력을 알아보고자 하는 노드들.
• $Y$: 종속변인. 쉽게 말하면 결과. 우리가 궁극적으로 원하는 것은 $P(y\:|\:do(t))$를 알아내는 것.

또, $do$-calculus에서는 causal graph를 이리저리 조작할 필요가 있습니다. 그래서 아래와 같은 표기법을 도입합니다.

 

Causal graph $G$에 대해서, 

• $G_{\bar{X}}$: 집합 $X$에 포함된 노드들의 incoming edge ($parent(X)\to X$인 엣지)를 제거한 그래프
• $G_{\underset{―}{X}}$: 집합 $X$에 포함된 노드들의 outgoing edge ($X\to child(X)$인 엣지)를 제거한 그래프

처음 보는 표기법이지만, 직관적으로 이해하기는 어렵지 않을 겁니다. 노드 사이의 관계가 폭포처럼 위에서 아래로 흐른다고 생각해봅시다.

• $G_{\bar{X}}$: 위를 막는다 → 부모로부터 오는 엣지 차단
• $G_{\underset{―}{X}}$: 아래를 막는다 → 자식한테 넘겨주는 엣지 차단

그럼 본격적으로 $do$-calculus의 3가지 규칙을 살펴볼까요?

Rule 1: Observation의 삽입 / 제거

$$P(y|do(t),z,w)=P(y|do(t),w)ifY{\perp \perp }_{G_{\bar{T}}}Z|T,W$$

수학적인 의미를 풀어보자면, 우리가 $P(y|do(t))$를 계산하는 과정에서 $Z$에 대한 observation 항이 등장할 수도 있습니다. 그런데 이 때, $G_{\overline{T}}$에서 $(Y {\perp\!\!\!\perp} Z\:|\:T,W)$가 성립하면 $Z$에 대한 observation 항은 무시할 수 있습니다.

 

조금 직관적으로 풀어보자면, $Z$가 $Y$에 영향을 줄 수 있는 path가 없다면, $Z$에 대한 observation은 무시할 수 있다는 이야기입니다.

 

예시 하나 살펴볼까요? 위와 같은 그래프를 생각해보자. (여기서는 $T$ 대신 $X$라는 문자를 사용합니다)

 

$X\rightarrow Y$에 대한 인과관계를 밝히고 싶은데, $Z$를 신경써야 할까요?

$do$-calculus의 1 규칙에 따르면, $G_{\bar{X}}$에서 $W$,$X$를 conditioning 했을 때, $Z$와 $Y$가 d-separation 되어있는 걸 볼 수 있습니다. 따라서 $Z$는 무시해도 됩니다!

직관적으로 봤을 때도, $Z$가 바뀌었다고 $Y$에 영향을 주는 경로가 없죠? 지금 같은 경우는 그래프가 간단해 바로 보이지만, 그래프가 복잡해지면 유용하게 사용되겠죠?

Rule 2: Action ↔ Intervention의 교환

그런데 Rule 1을 아무리 활용해도 식에 do-operator가 있는 걸 없앨 수는 없죠? 그걸 해주는 게 Rule 2입니다!

$$P(y|do(t),do(z),w)=P(y|do(t),z,w)ifY{\perp \perp }_{G_{\bar{T},\underset{―}{Z}}}Z|T,W$$

수학적으로는, $G_{\overline{T},\underline{Z}}$에서 $(Y {\perp\!\!\!\perp} Z\:|\:T,W)$가 성립하면 $Z$에 대한 intervention은 observation과 같습니다. 즉, $Z$에 $do$-operator를 마음대로 삽입하거나 제거할 수 있습니다.

직관적으로는, $Z$가 $Y$에 영향을 줄 수 있는 path가 directed path 밖에 없다면 $Z$에 대한 intervention은 observation과 같게 생각할 수 있다는 뜻입니다.

 

마찬가지로 위와 같은 예시를 생각해봅시다. 여기서 $do(z)$를 관측값 $z$로 생각할 수 있을까요?

$G_{\bar{X},\underset{―}{Z}}$를 보면 $W,X$를 conditioning 했을 때, $Z$와 $Y$는 서로 영향을 주지 않습니다 (d-separation). 따라서 $do(z)$를 그냥 $z$로 생각해도 무방합니다.

 

Rule 3: Action의 삽입 / 제거

규칙 3은 꽤나 복잡하게 생겼습니다.

$$P(y|do(t),do(z),w)=P(y|do(t),w)ifY{\perp \perp }_{G_{\bar{T},\overline{Z(W)}}}Z|T,W$$

먼저 $Z(W)$가 뭘까요? $Z(W)$는 ‘$Z$에 속한 노드 중에, $W$의 부모가 아닌 노드들의 집합'입니다.

 

위 케이스에서, $Z$는 $W$의 부모가 아닙니다. 따라서 $Z(W)$는 그냥 $Z$와 같습니다. (여기서는 $Z$가 하나의 노드이지만, $Z$가 여러 노드의 집합을 의미하도록 확장될 수 있다는 것, 명심하세요!)

따라서 $G_{\bar{X},\overline{Z(W)}}$는 위와 같이 변경됩니다. $Z\to X$는 $\bar{X}$에 의해, $W\to Z$는 $\overline{Z(W)}$에 의해 제거되었죠.

 

반면 이 경우, 하나 있는 $Z$가 $W$의 부모이므로 $Z(W)$는 공집합입니다. 그래서 $\overline{Z(W)}$를 한다고 해도 $X\to Z$는 바뀌지 않습니다.

 

그러면 두 케이스에서 $do(z)$는 무시할 수 있을까요? 두 케이스 모두, $X$와 $W$를 conditioning하면 $Z$와 $Y$는 d-separated이므로 $do(z)$는 무시 가능합니다!

Application

앞서서 frontdoor & backdoor adjustment는 $do$-calculus를 통해 유도될 수 있다고 했습니다. 그 과정을 직접 살펴보면서 $do$-calculus가 실제로 어떻게 적용될 수 있는지 살펴봅시다.

Backdoor Adjustment

 

Frontdoor Adjustment

$do$-calculus의 특징

$do$-calculus는 아래와 같은 특징을 가집니다.

• Complete: $do$-calculus의 3가지 규칙을 이용하면 모든 identifiable causal estimand를 identify할 수 있습니다. 다시 말해, 이 세 가지 규칙을 이용해도 identify하지 못하는 케이스는 그냥 identify할 수 없는 케이스입니다.
• Nonparametric: $do$-calculus는 데이터 분포에 대해 특별한 가정을 하지 않습니다. 특정 분포를 가정했을 때는 parametric identification이라고 불리며 nonparametric에 비해 더 많은 causal estimand를 알아낼 수 있다고 합니다. 하지만 이 코스에서는 다루지 않는다네요.

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Determining Identifiability from the Graph

$do$-calculus가 유용하고 좋긴 한데, frontdoor이나 backdoor criterion처럼 그래프만 언뜻 보고도 identifiability를 알아낼 수는 없죠. causal graph를 언뜻 보고도 찾아낼 수 있는, 특수한 causal estimand는 더 없을까요?

 

있습니다! Unconfounded Children Identifiability라고 불리는 케이스입니다. 아래와 같은 경우죠.

하나의 conditioning set으로 $T$의 자손 중에 $Y$의 조상인 것들로 통하는 backdoor path를 모두 막을 수 있다면, $P(y|do(t))$는 identifiable하다.

frontdoor adjustment와 비슷해 보입니다. 자세한 예시를 볼까요?

 

위의 그림에서 frontdoor는 만족하지 않지만 confounded children은 만족한다. Confounded children criterion이 좀 더 일반적인 기준인 셈이죠.

이 외에도 hedge condition이라는 게 있긴 한데, 이 강의에서는 다루지 않습니다.

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참고자료

• do-calculus adventures!
• Deriving the front-door criterion with the do-calculus
• chandan singh Causality