Observational study : 관측되지 않은 confounders의 존재가능성 때문에, unconfoundedness를 보장받거나 backdoor criterion가 존재하는지 알 수 없습니다.
Randomized experiments : unobserved confounding의 가능성을 차단함으로써 unconfoundedness를 보장받고 backdoor criterion이 만족되는지 알 수 있게 됩니다.
⇒ Randomization은 Association is causation을 성립하게 만들어줍니다!
Randomized Control Trial (RCT)
1. 2장에 나온 예시 ◦ 변수 소개 - $T$ (Treatment) : 신발을 신고 잔다 - $Y$ (Outcome) : 다음 날 두통 여부 - $X$ (Confounder) : 전날 밤 술에 취했는지 여부
◦ Observational study : 신발에 신고 자는 그룹($T=1$) vs 벗고 자는 그룹($T=0$)의 그룹을 있는 그대로 나눕니다. - 어떤 문제가 생길까요? Treatment / Control group간 비교 가능하지 않습니다! ⇒ 즉, 신발 신고 잔 그룹($T=1$) 중, 전날 술에 취한 사람의 비율(confounding)이 신발 벗고 잔 그룹에 비해 훨씬 높은 것을 볼 수 있어요.
◦ Randomized experiment : 신발을 신고 잘지 벗고 잘지 여부를(treatment를) 동전 던지기로 결정합니다. ⇒ 동전 앞뒷면이 나올 확률이 같으므로, 신발 신은 그룹과 벗은 그룹 내 전날 술에 취한 사람의 비율이 거의 같아지게 됩니다!
Randomized Experiments에 대한 3가지 관점
1. Comparability and Covariate balance
◦ 처치 여부에 대한 랜덤화 : 처치 집단과 통제 집단의 다른 모든 조건을 같게 만들고(confounders 분포를 포함), 딱 하나 처치 여부만 다르게 합니다. → 따라서 처치 집단과 통제 집단의 결과에 차이가 생길 경우 이를 처치 여부 때문이라고 할 수 있게 됩니다. ◦ 처치 여부를 랜덤화 하는 것은 unobserved covariates까지도 covariate balance를 갖게 하는 효과를 가집니다. 그렇기 때문에 $T$가 $X$에 의해 결정되지 않아요. ($T {\perp \!\!\! \perp} X$) $$P(X|T=1)\stackrel{d}{=}P(X) \quad and\quad P(X|T=0)\stackrel{d}{=}P(X)$$
◦ Covariate balance : 처치 집단과 통제 집단에서 covariates $X$의 분포가 같음 $$P(X | T=1) \stackrel{d}{=} P(X|T=0)$$ → “Covariate balance 이면, association is causation입니다”
◦Covariate balance에 대한 부분을 $P(y|do(t)) = P(y|t)$을 통해 증명할 수 있는데요. 과정은 아래와 같습니다.
◦ Randomization ⇒ Covariate balance ⇒ “Association is causation”
2. Exchangeability
◦ Exchangeability 의미 : Treatment 여부에 따라 아래와 같은 성질이 달라지지 않습니다. - 그룹의 구성 - 평균적 결과
◦ Exchangeability의 형식적 정의와 “Association is causation”의 도출과정은 아래와 같아요 < textbook p.51 > $$E[Y(0)|T=0] = E[Y(0)|T=1]$$ $$E[Y(1)|T=1] = E[Y(1)|T=0]$$
◦ Treatment/Control 그룹이 교환 가능 : 앞면이 나온 사람을 처치 집단에 넣기로 하든 뒷면이 나온 사람을 처치 집단에 넣기로 하든 각 그룹의 Y에 대한 기댓값은 같습니다.
3. No backdoor paths
◦ T를 randomize하면 T는 더이상 인과적 parents를 가지지 않게 됩니다. - $X$ → $T$로 가는 edge가 사라져서 backdoor path가 끊김 - Unobserved variables도 마찬가지로 path가 끊김
(2) Frontdoor Adjustment
Backdoor adjustment를 다시 리마인드 해봅시다!
→ 왼쪽처럼 빨간색 점선(backdoor path)를 통한 non-causal association이 존재할 때, $W_2$와 $C$에 대해 각각 conditioning 함으로써 그 path를 차단할 수 있습니다.
Frontdoor Adjustment 도입 배경 : Unobserved Confounders $W$
◦ Q : $W$는 unobserved confounder이므로 conditioning을 할 수 없는 경우가 생깁니다. 이 경우 backdoor path를 막을 수 없게 되는데요, 여전히 $T$ → $Y$에 대한 casual effect를 identify 할 수 있을까요? ◦ A : “Frontdoor path”를 통해 가능합니다.
◦ 직관 : - 아래 그림에서 Backdoor path는 $T → W → Y$의 Confounding association 입니다. - 우리가 관심이 있는 Causal association이 $M$를 통하고 있습니다. → $M$에 집중하면, Causal association을 분리할 수 있습니다.
Frontdoor Adjustment 3가지 Step
0. Frontdoor Adjustment 과정 ◦ $T → M$에 대한 인과 효과 Identify ◦ $M → Y$에 대한 인과 효과 Identify ◦ 앞의 2개의 스텝을 합쳐서, $T→ Y$에 대한 인과 효과를 Identify
1. Frontdoor Adjustment : Step 1 < $T → M$에 대한 인과 효과 Identify > ◦ $T → M$으로 가는 path에는 $Y$가 $T→W→Y→M path$에서 collider로 backdoor path를 막고 있어요. ◦ 따라서 $T → M$으로 가는 association은 causal association만 존재하게 됩니다. ⇒ Empty set을 adjustment set으로 사용해, 아래와 같이 bacdkoor adjustment로 identify 가능합니다. $$P(m|do(t)) = P(m|t)$$
2. Frontdoor Adjustment : Step 2 < $M → Y$에 대한 인과 효과 Identify > ◦ $M→ Y$에 $M→T→W→Y$의 backdoorpath가 존재하지만, 여기서는 $T$에 대해 conditioning해서 backdoor path를 막을 수 있어요. ◦ Frontdoor adjustment는 backdoor adjustment를 응용한 버전이라고도 볼 수 있어요. $$P(y|do(m)) = \sum_tP(y|m,t)P(t)$$ ⇒ $T$를 sufficient adjustment set으로 사용해서 backdoor adjustment 적용할 수 있습니다.
3. Frontdoor Adjustment : Step 3 < 앞의 2개의 스텝을 합쳐서, $T→ Y$에 대한 인과 효과를 Identify >
◦ $T → Y$ 의 인과 효과 규명을 위해 step1, 2를 chaining 하게 되면 아래와 식과 같습니다. $$P(y|do(t)) = \sum_mP(m|do(t))P(y|do(m))$$
Frontdoor Adjustment Criterion
◦ 만약 ($T$, $M$, $Y$)가 frontdoor criterion를 만족시키고, positivity를 가정한 경우, step1과 step2의 공식을 step3와 합친식은 아래와 같습니다. $$ P(y | do(t)) = \sum_mP(m|t)\sum_{t'}P(y|m, t')P(t') $$
◦ 변수 세트 $M$은 $T$와 $Y$에 관해, 다음 조건들이 참이면 frontdoor criterion을 만족시킨다고 할 수 있어요.
- $M$이 $T → Y$의 효과를 완전하게 매개 (complete mediation, 예시 : 모든 $T$에서 $Y$로 가는 causal path가 $M$을 지나는 경우) - $T$에서 $M$으로 가는 unblocked backdoor path가 없음 - $M$에서 $Y$로 가는 모든 backdoor path가 $T$에 의해서 blocked
To be continued) 다음은 Nonparametric Identification 에 대해 배울 예정입니다.
